Professor Marcos mangueira
AS BARRAS DE NAPIER DO SÉCULO XVII: UMA
CALCULADORA ATUAL PARA A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Maurício Ademir Saraiva de Matos
Filho – UFRPE – mmsaraiva@hotmail.com
Cristiane
Azevêdo dos Santos Pessoa – UFPE – crispessoa@hotmail.com
Marly Maria dos Santos Lagêdo –FUNESO
– marlylagedo@hotmail.com
INTRODUÇÂO
Contexto histórico
A
transição da economia feudal para uma economia monetária e de mercado, da
sociedade rural para uma sociedade urbana e de classes, do Estado feudal
fragmentado para os estados nacionais centralizados assinalou, na ordem
econômica, social e política, a passagem da Idade Média aos Tempos Modernos.
Um dos
momentos de transformação ocorrido no período da Idade Moderna, juntamente com
a reforma religiosa, foi o Renascimento. Ele pode ser entendido como um
movimento cultural que caracterizou a transição da cultura medieval para a
cultura moderna, rompendo o monopólio cultural até então exercido pela Igreja.
Esse movimento iniciou-se no século XVI, na Europa, e teve como objetivo o
resgate da cultura greco-romana e a necessidade de mudanças no modo de pensar e
de viver, no desejo de explicações mais racionais, na valorização da obra
humana, no individualismo e no homem se descobrindo como criatura e criador do
mundo em que vive.
O
Renascimento Científico é marcado pela necessidade dos cientistas em observar
os novos fenômenos naturais, em fazer experimentos propondo novas hipóteses, em
medir, reavaliar e não aceitar conclusões prontas.
As obras
científicas, produzidas nesse período, não se caracterizaram apenas pelas
mudanças qualitativas, mas também pelo aumento na quantidade de produção
cultural.
Uma das
mais brilhantes teorias desse período é a Heliocêntrica, publicada na obra “Da
revolução das esferas celestes” do polonês Nicolau Copérnico (1473 – 1543), que
derrubou a teoria geocêntrica (a Terra como centro do universo) e que provocou
a reação das pessoas, especialmente dos religiosos.
O alemão
Johann Kepler (1571 – 1630) e o italiano Galileu Galilei (1564 – 1642) passaram
a defender a teoria de Copérnico. Galileu chegou a ser acusado de herege pela
Inquisição Católica e, para livrar-se da pena de morte, foi obrigado a negar
todas as suas convicções. André Vessálio pesquisou o corpo humano através da
dissecação de cadáveres. Miguel Servet (1511 – 1553), médico espanhol,
descobriu a pequena circulação do sangue ou circulação pulmonar pelas artérias.
Por essa prática, foi criticado e perseguido pelas autoridades religiosas
cristãs. Preso em Genebra, foi queimado vivo.
Como é
possível observar, neste período houve um grande desenvolvimento científico. A
seguir, tem-se uma reflexão sobre este desenvolvimento, especificamente na
Matemática.
O desenvolvimento da Matemática
Nessa época, a
Matemática era a mais madura das ciências, pois a Física que se conhecia era a
da Antigüidade, a Química era a alquimia e a Biologia era a taxonomia. Apesar
disso, até então, o que se conhecia na Matemática eram as curvas
transcendentes, a trigonometria elementar, a geometria plana e a aritmética.
René Descartes (1596 – 1650) foi um marco histórico no desenvolvimento da
Matemática, devido à sua tentativa de criar um método universal que procurasse
a verdade nas ciências. O conhecimento se matematizou a partir da sua obra
“Discurso do Método”. Ele revolucionou a Matemática através da geometria
analítica, com a qual criou o método para equacionar problemas, usar letras e
números para a sua sistematização e resolução.
Nos
séculos XVI e XVII a Matemática apresentou um rápido desenvolvimento em relação
aos séculos anteriores, devido aos estudos de matemáticos italianos (entre
eles Galileu, 1564 – 1642) e outros
estudiosos europeus que se preocuparam cada vez mais em unir o experimental ao
matemático e trabalhar com símbolos manipuláveis.
A palavra
cálculo vem do latim calculus e há muitos anos o homem se preocupa com formas
de facilitar a sua realização. Segundo Ifrah (2004) os dedos das mãos é o mais antigo e difundido
acessório utilizado na contagem e no cálculo pelos povos através dos tempos. O
ábaco (datado de 3500 a.C.), utilizado até hoje no Oriente; os sistemas de
numeração; as réguas de cálculo (baseadas em tabelas); as estruturas de Napier
(tabelas móveis de manipulação), são outros exemplos de mecanismos utilizados
para a realização desses cálculos.
Segundo Eves
(2004) a astronomia, a navegação, o comércio, a engenharia e a guerra, áreas onde
os cálculos numéricos são de fundamental importância, fizeram com que
aumentassem os esforços na busca de mecanismos que tornassem os cálculos cada
vez mais rápidos e precisos. Na Matemática, quatro
notáveis invenções vieram atender sucessivamente essas demandas crescentes: a
notação indo-arábica, as frações decimais, os logaritmos e os modernos
computadores.
O matemático
escocês John Napier, (1550 – 1617) desenvolveu os logaritmos no início do
século XVII. Este é um dos inventos que passaram a poupar os trabalhos com
grandes cálculos. Em 1614 ele criou o sistema com base na progressão geométrica
de potências relativas ao número 1. A cada potência Napier designou um número e
chamou-o de logaritmo. O log de 1 era 0 e o log de 10 era 1. Ao
se construir uma tábua de logaritmos, para multiplicá-los ou dividi-los bastava
somar ou subtrair seus logaritmos, isto é, o log de a vezes b é igual ao logaritmo de a mais o
logaritmo de b. Dessa forma, a multiplicação e a divisão de números
enormes foram reduzidas às simples operações de adição e subtração. A régua de
calcular foi um outro instrumento resultante da invenção dos logaritmos. Eles
se tornaram uma ferramenta poderosa nas computações astronômicas e de
navegação.
Além dos
logaritmos, Napier usou pela primeira vez o ponto decimal;
criou a regra das partes circulares para reproduzir fórmulas usadas na
resolução de triângulos esféricos; analogias de Napier, úteis na resolução de
triângulos esféricos obliquângulos. Além disso, inventou um instrumento
conhecido como Barras de Napier, usado para efetuar mecanicamente multiplicações, divisões e extrair raízes
quadradas de números.
As Barras de Napier
De acordo com
Eves (2004) eram tão extensas as dificuldades experimentadas na multiplicação
de números grandes que foi necessário buscar métodos mecânicos para conseguir
trabalhar com esse processo. Os instrumentos aritméticos figuram entre os
primeiros dispositivos materiais destinados a suplantar o cálculo humano.
Concebidos para aliviar os aritméticos na prática dos cálculos elementares,
operavam diretamente nas representações algorítmicas e forneciam o resultado
final de certo número de manipulações relativamente simples.
Um exemplo
célebre é o dispositivo inventado pelo matemático escocês John Napier, (1550 – 1617), publicado em seu trabalho Rabdologiae que conseguiu
alcançar muita fama na época (EVES, 2004, p. 369). É o que se chama de Barras
de Napier, as quais consistem em uma tabela de multiplicação, com diferentes
colunas, contendo os múltiplos sucessivos de 1 a 9, escritos em réguas móveis
de modo que possam ser justapostas na ordem dos algarismos do multiplicando. Os
diversos produtos parciais que intervêm na multiplicação são lidos então,
horizontalmente, em face dos algarismos do multiplicador. Econômico, confiável
e preciso, esse sistema, concebido para facilitar a prática das multiplicações,
conheceu um grande sucesso na Europa até o início do século XX, com o advento
de instrumentos mais rápidos e de tecnologia mais avançada.
Em 1633, um
sacerdote inglês chamado William Oughtred, teve a idéia de representar esses
logaritmos de Napier em escalas de madeira, marfim ou outro material,
chamando-o de “Círculos de Proporção”. Este dispositivo originou a conhecida
“Régua de Cálculos”. Mas, evidentemente, esse auxiliar de cálculo não foi o
único instrumento desse gênero: concebeu-se e constituiu-se, desde então, uma
variedade muito considerável, indo da simples régua de cálculo a aparelhos
muito mais elaborados, facilitando a multiplicação, divisão e mesmo a extração
de raízes quadradas.
Tais aparelhos
não foram, contudo, verdadeiras máquinas de calcular. Facilitavam, claro, a
prática de operações, mas não a mecanizavam no sentido estrito da palavra. Fora
o fato de não comportarem rodas dentadas, engrenagens de um verdadeiro
mecanismo, necessitavam, além disso, de uma constante intervenção da parte do
operador humano, bem como de sua atenção refletida entre a inscrição dos dados
e a leitura dos resultados. Constituíram, assim, simples extensões materiais da
prática do cálculo humano por meio de algarismos.
Reduzir ao
mínimo a intervenção humana na prática das operações aritméticas e encontrar um
meio rápido, simples, confiável, preciso e de movimentos puramente mecânicos,
era o principal objetivo dos matemáticos. Eis portanto, em que consiste o
verdadeiro problema da mecanização do cálculo aritmético, cuja pesquisa de
soluções conduziu à invenção e ao impulso das calculadoras numéricas
elementares. As quais podem ser consideradas as “mães” das calculadoras atuais.
E que, de acordo com D’Ambrosio (2001), considerando o raciocínio quantitativo,
seria inaceitável pensar hoje em aritmética e álgebra, sem a plena utilização
das calculadoras.
Diante destes
dados, questiona-se: qual a importância destas Barras para a sala de aula
atualmente? Como fazer uso didático deste material no trabalho com os alunos?
Como transpor este saber para as situações de ensino e aprendizagem em sala de
aula?
Transposição Didática
O saber, historicamente
construído, sofre transformações ao longo do tempo. As barras de Napier, como
foi discutido, surgem em um contexto histórico específico, atendendo às
necessidades de uma época. Ou seja, o cientista, ao elaborar um conhecimento, o
faz em um determinado contexto, para atender a determinadas necessidades. Quando
este conhecimento se universaliza, ele passa por diferentes contextualizações,
descontextualizações e re-contextualizações para ser compreendido.
Tratando especificamente
da sala de aula, Guy Brousseau afirma
que o cientista dá a forma mais geral possível aos resultados que
obteve, busca dar ao saber uma forma comunicável, descontextualizada,
despersonalizada, fora de um conteúdo temporal. O professor deve procurar
situações que dêem sentido ao que vai ser ensinado, contextualizando-o e
depois precisa descontextualizá-lo para generalizar. O aluno precisa
descobrir, junto com o professor, que o saber que produziu poderá ser utilizado
em outras ocasiões. Assim, eles precisam re-despersonalizar e re-descontextualizar
este saber para torná-lo universal e reutilizável. Ou seja, os matemáticos (ou
cientistas) generalizam o saber, descontextualizando-o, o professor recontextualiza
o saber, para dar-lhe sentido e ajudar na compreensão do aluno, e o aluno, ao
aprender, não sabe que pode utilizar este saber em outras situações, por isso
deve re-descontextualizar para dar-lhe um caráter universal, reutilizável.
Neste sentido, é
importante destacar o que Yves Chevallard chama de transposição didática:
ao entrar na relação didática, o saber científico sofre transformações e
adaptações em relação à forma como foi originariamente proposto em seu contexto
de formulação (o laboratório científico-acadêmico), para ser trabalhado e
assimilado pelo aluno no âmbito escolar (Chevallard,
1985). Estas transformações são necessárias, uma vez que o saber é
influenciado pelos propósitos institucionais, funcionando de formas diferentes
nas instituições produtoras e comunicadoras. Esta transposição ocorre em
diferentes níveis: ao se tomar decisões curriculares, na produção de
livros-texto, nos cursos de capacitação e no decorrer das aulas.
Assim, é importante observar que,
ao sofrer transformações, inovações e deformações na transposição didática, o saber
vai se modificando e, muitas vezes, pode ocorrer de deixar o aluno nos
níveis mais elementares do seu conhecimento, por não considerá-lo capaz de ir
adiante na construção do seu saber.
Portanto,
de acordo com Chevallard (1991), um conteúdo
de ensino, tendo sido designado como um saber a ensinar, sofre um conjunto de
transformações adaptativas que vão torná-lo capaz de tomar lugar entre os
objetos de ensino. Segundo este autor, a transposição didática é o trabalho
que, de um objeto de saber a ensinar,
faz um objeto de ensino.
Não se pretende aqui defender o uso
das Barras de Napier como o recurso que libertará os alunos das dúvidas e
incompreensões de resolução dos algoritmos, mas como mais um recurso na busca
da construção do conhecimento.
Aplicação didática das Barras de Napier
Relacionando esta
discussão da transposição didática às reflexões históricas das Barras de
Napier, pode-se observar, como foi supracitado, que elas poderão ser utilizadas
em sala de aula como mais um recurso didático, entre tantas outras estratégias
que precisam ser utilizadas nas situações didáticas em busca da compreensão dos
conceitos matemáticos.
Como foi visto
anteriormente, essas barras, criadas para facilitar a prática dos cálculos
elementares, conheceu seu sucesso desde a sua criação até o início do século
XX, na Europa. No século XVII foram utilizadas como um auxiliar dos cálculos
numéricos na astronomia, navegação, comércio, engenharia, não havendo registros
sobre seu uso didático naquela época.
No contexto do Ensino da
Matemática, as Barras de Napier podem ser utilizadas em turmas iniciais do
Ensino Fundamental e do Ensino Médio, como mais um recurso utilizado na
apropriação de conceitos matemáticos.
Com esse material o professor
poderá trabalhar tópicos como: multiplicação (tabuada e algoritmo), adição e
subtração de frações, propriedades da multiplicação, sistema decimal, padrões
numéricos, conceito inicial das progressões aritméticas, história da Matemática
e o uso da calculadora para a validação de estratégias. Além disso, o professor
poderá explorar com seus alunos, nas atividades realizadas em sala de aula,
outros conceitos. Um exemplo é o conjunto dos múltiplos de um número que poderá
ser feito com qualquer quantidade de algarismos. Também verificar com os alunos
a relação existente entre o método tradicional e o cálculo efetuado com as
barras. O professor, ainda, poderá
promover competições, comparando a rapidez com que se executa o cálculo,
através dos dois métodos (tradicional e com as barras) ou usando uma
calculadora comum.
Abaixo, há alguns exemplos de
atividades utilizando as Barras de Napier:
Atividade 1. Multiplicação de 1615 por 365.
Procedimento : Colocam-se esteiras encabeçadas por
1,6,1,5 lado a lado. Multiplicamos 1615 por 5, obtendo 8075; 1615 por 6,
obtendo 9690 e 1615 por 3, obtendo 4845.
Estes números podem ser lidos
facilmente, sendo necessário, no máximo, efetuar algumas adições simples de 2
dígitos na diagonal, obtendo o produto final por meio de uma adição, cujo
resultado será 589475.
|
1
|
6
|
1
|
5
|
||
1
|
6
|
1
|
|
||
|
2
|
1
2
|
2
|
 1
0
|
||
|
3
|
1
8
|
3
|
1
5
|
||
|
4
|
2
4
|
4
|
2
0
|
||
|
5
|
3
0
|
5
|
2
5
|
||
|
6
|
3
6
|
6
|
3
0
|
Atividade 2. Calcular os dez primeiros múltiplos
de 42.
Procedimento: coloca-se as tiras encabeçadas por 4
e 2. Em seguida multiplica-se o número 42 por cada linha correspondente das
tiras que juntas aparecerão os respectivos múltiplos.
 4 |
2
|
|
|
4
|
2
|
= 42
|
|
8
|
4
|
= 84
|
|
1
2
|
6
|
= 126
|
|
1
6
|
8
|
= 168
|
|
2
0
|
1
0
|
= 210
|
|
2
4
|
1
2
|
= 252
|
|
2
8
|
1
4
|
= 294
|
|
3
2
|
1
6
|
= 336
|
|
3
6
|
1
8
|
= 378
|
|
4
0
|
2
0
|
= 420
|
Atividade 3. Calcular
os mínimo múltiplo comum entre 24, 40 e 60.
Procedimento:
Coloca-se as tiras encabeçadas por 2 e 4 lado a lado e a de 6 e a de 4 deve-se ao
resultado de cada operação acrescenta-se um zero.
|
2
|
4
|
|
6
|
|
4
|
|
|
 
2
|
4
|
=24
|
6
|
=60
|
4
|
=40
|
|
|
4
|
8
|
=48
|
1
2
|
=120
|
8
|
=80
|
|
|
6
|
1
2
|
=62
|
1
8
|
=180
|
1
2
|
=120
|
|
|
8
|
1
6
|
=96
|
2
4
|
=240
|
1
6
|
=160
|
|
|
1
0
|
2
0
|
=120
|
3
0
|
=300
|
2
0
|
=200
|
|
|
1
2
|
2
4
|
=144
|
3
6
|
=360
|
2
4
|
=240
|
|
Logo
o MMC (24,40,60) = 120.
Atividade 4. Consiste na resolução de uma
atividade recreativa utilizando as Barras.
Uma
criança juntou moedas de R$ 1,00 no seu cofrinho, mas só sabendo contar até 10,
queria saber quantas moedas tinha. Contando de 2 em 2, sobrava uma; de 3 em 3,
sobrava 1; de 4 em 4, sobrava 1; de 5 em 5, sobrava 1; de 6 em 6, sobrava 1;
mas de 7 em 7, não sobrava nenhuma. Sabendo que o cofrinho só cabia, no máximo,
500 moedas, quantas moedas a criança tinha?
Solução:
o número procurado é um múltiplo de 7 e simultaneamente é consecutivo de um
múltiplo comum a 2, 3, 4, 5 e 6. O que temos que calcular é um múltiplo comum a
esses números e verificar se o seu consecutivo é múltiplo de 7, mais ainda,
esse número deve ser menor do que 500. Temos:
Para
o cálculo do MMC (2, 3, 4, 5, 6) podemos construir as Barras de 2, 3, 4, 5 e 6,
lembrando que a Barra de 2 deve ser construída até 49, a Barra de 3 deve ser
construída até 33, a Barra de 4 deve ser construída até 24, a Barra de 5 até 19
e a Barra de 6 até 16 para que seja possível encontrar o MMC (2, 3, 4, 5, 6)
igual a 60.
O
conjunto dos múltiplos de 60: 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480,... . Que
pode ser construído utilizando a Barra de seis acrescentando-se um zero ao
resultado de cada linha.
|
6
|
|
6
|
= 60
|
|
1
2
|
= 120
|
|
1
8
|
=180
|
|
2
4
|
= 240
|
|
3
0
|
= 300
|
|
3
6
|
= 360
|
|
4
2
|
= 420
|
|
4
8
|
= 480
|
|
5
4
|
= 540
|
|
6
0
|
= 600
|
O
conjunto de consecutivos dos múltiplos de 60: 61, 121, 181, 241, 301, 361, 421,
481, 541, 601, 661, 721, 781,... .
O
conjunto dos múltiplos de 7 dentre esses consecutivos é: 301, 721, 1141,
1561,... .
Como
o número deve ser menor que 500, o valor procurado é 301. Logo, a criança,
tinha 301 moedas de R$ 1,00 no seu cofrinho.
Atividade 5. Somar e subtrair frações heterogêneas
recorrendo ao cálculo do mínimo múltiplo comum. Calcular .
Procedimento: No processo de redução ao mesmo
denominador das frações dadas, podemos coloca as tiras encabeçadas por 2 e 4
lado a lado, de 1 e 6 lado a lado e as de 1 e 2 lado a lado, dessa forma
percebemos o novo denominador.
|
2
|
4
|
|
1
|
6
|
|
1
|
2
|
|
|
2
|
4
|
=24
|
1
|
6
|
=16
|
1
|
2
|
=12
|
|
4
|
8
|
=48
|
2
|
1
2
|
=32
|
2
|
4
|
=24
|
|
6
|
1
2
|
=62
|
3
|
1
8
|
=48
|
3
|
6
|
=36
|
|
8
|
1
6
|
=96
|
4
|
2
4
|
=64
|
4
|
8
|
=48
|
|
1
0
|
2
0
|
=120
|
5
|
3
0
|
=80
|
5
|
1
0
|
=60
|
|
1
2
|
2
4
|
=144
|
6
|
3
6
|
=96
|
6
|
1
2
|
=72
|
Portanto, 
As Barras podem ser um recurso
interessante para encontrar termos de progressões aritméticas de razões
grandes.
Atividade 6. Calcular o oitavo termo de uma
progressão aritmética que tem o primeiro termo igual a 5 e a razão igual a 89.
Procedimento: Para determinar o oitavo termo da
progressão aritmética de razão igual a 89, podemos coloca as tiras encabeçadas
por 8 e 9 lado a lado, dessa forma teremos os múltiplo de 89.
|
8
|
9
|
|
8
|
9
|
= 89
|
|
1
6
|
1
8
|
= 178
|
|
2
4
|
2
7
|
= 267
|
|
3
2
|
3
6
|
= 356
|
|
4
0
|
4
5
|
= 445
|
|
4
8
|
5
4
|
= 534
|
|
5
6
|
6
3
|
= 623
|
|
6
4
|
7
2
|
= 712
|
|
7
2
|
8
1
|
= 801
|
|
8
0
|
9
0
|
= 890
|
Portanto,
o oitavo termo da progressão será a sétima linha da Barra acima somado ao
primeiro termo da progressão (623 + 5 = 628).
OBJETIVOS
Analisar o contexto histórico do
surgimento e desenvolvimento das Barras de Napier e refletir sobre as
possibilidades de seu uso atualmente.
METODOLOGIA
Para buscar
alcançar os objetivos, foi realizada uma pesquisa bibliográfica sobre o
contexto histórico, social, econômico, cultural e científico em que surgiram as
Barras de Napier, além de uma pesquisa sobre as possibilidades de aplicação
didática deste recurso em sala de aula.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Percebe-se que
as Barras de Napier apresentam um potencial para serem utilizadas como mais um
dos tantos recursos possíveis que podem auxiliar o trabalho de construção do
conhecimento matemático.
Vale ressaltar
que esse recurso possui limitações, seja na sua construção ou na sua utilização;
por exemplo, quando for necessária uma construção da Barra com múltiplos que
são maiores do que uma dezena, será necessária a complementação da atividade
com outros procedimentos.
Diante das possibilidades
de utilização das Barras, é importante ressaltar a necessidade de desenvolver
outras pesquisas que possam verificar como este recurso pode contribuir para a
construção de outros conceitos matemáticos, e quais seriam os resultados
obtidos a partir de sua utilização em sala de aula.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
CHEVALLARD, Y. La transposition Didactique.
Du savoir savant au savoir enseigné. Grenoble: La Pensée Sauvage, 1985.
CHEVALLARD, Y. La transposition Didactique.
Paris : La Pensée
Sauvage, 1991.
D’AMBROSIO,
U. Etnomatemática - Elo entre as tradições e a modernidade. Belo
Horizonte: Autêntica, 2001.
EVES,
H. Introdução à História da Matemática. Trad. Hygino H. Domingues. Campinas: Unicamp, 2004.
IFRAH,
G. Os números: história de uma grande invenção. Trad. Stella Maria de
Freitas Senra. 10. ed. São Paulo: Globo, 2004.
GINCANA
(56). 56 é o meu numero. Quanto vale o triplo dele?
(168).
Se de 168 subtrairmos uma dúzia, quanto encontraremos?
(156).
156 é o volume de um paralelepípedo
retângulo de arestas 3, 4 e x. qual o
valor da aresta desconhecida deste paralelepípedo?
(13). 13
é o número de alunos existentes em uma sala de aula. De quantos modos
distintos, podemos escolher 3 deles para formar uma comissão?
(286). 286
é o numero que representa a área de um retângulo de lados x e 26. Qual o valor
da medida desconhecida deste retângulo?
(11). 11
é um numero primo. Quantos são os números primos naturais menores que 11?
(4). 4
é a medida da aresta de um cubo. Qual o volume deste cubo?
(64). 64
é o 3º e ultimo termo de uma PA finita
crescente de razão R = 12 e a1 = 40. Qual é o termo central desta
seqüência?
(52). 52
é o 1º termo de uma PA decrescente de razão R = 23. Qual é o 3º termo desta PA?
(6). De
quantos modos distintos uma sala que tem 6 portas Pode ficar aberta?
(63). 63
é o triplo de quanto?
(21). 21
é o valor que representa em anos a idade de Pedro. Se somarmos a idade de Pedro
com a idade de Ana, encontraríamos 37 anos. Assim, podemos afirmar que a idade
de Ana é:
(16). 16
é mau número. Se ao meu numero somarmos o seu antecessor, e em seguida subtrairmos
4 unidades, qual seria o valor encontrado?
(27). 27
é o volume de um cubo que possui aresta que mede quanto?
(3). Com
3 rapazes e 5 moças, quantas são as possibilidades de escolher 4 pessoas de
modo que 2 delas sejam rapazes?
(30). 30
representa em Cm o perímetro de um triangulo eqüilátero de lado l. qual a
medida do lado deste triângulo?
(10 cm). 10
cm é a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo que catetos 6 cm e Y.
qual a medida do cateto Y?
(8 cm). 8
é a ordenada do ponto em que a reta r : y= -x + 8 intersecta o eixo Y.
Qual é o valor do coeficiente angular
desta reta?
(-1) -1
é o meu número. Qual o valor absoluto dele? (Modulo de -1)
(1). É
o valor da tangente do ângulo α pertencente ao 3º quadrante. Em graus, que
ângulo é este?
(225°). Transformando a unidade de meu
ângulo para radiano, encontramos que ângulo?
(5π Rad). Qual
p valor do seno de meu ângulo?
4
(-√2 ). -√2 é o valor do cosseno de que ângulo em graus
que pertence ao 2°
2 2
quadrante?
(135°). Qual
o valor do seno de meu ângulo?
(√2 ). Qual
é o ângulo ∑ em radiano do 1° quadrante
que tem Sen∑ = Cos∑ ?
2
(π). É
o 2º termos de uma PG de razão q = 2. Qual é o 5º termo desta seqüência?
4
(2 π). Qual
o valor do Seno de meu ângulo?
(0). Zero
é a quantidade de elementos existentes num conjunto vazio. Quantos são os
subconjuntos do conjunto A={a,b,c,d,e}?
(32). 32
é o traço de uma matriz quadrada de ordem 2. Se a11 = 25,
qual o valor de a22?
(7). 7
é o numero de letras da palavra ANILINA.
Quantos são os anagramas que podem ser formados com as letras da palavra
ANILINA?
(630). 630
é meu numero. Qual é o valor da metade dele?
(315). 315
é o valor em reais que Ana possuía. Se Ana foi à feira e comprou duas
blusas a R$ 35,00 cada e mais uma calça
por R$ 45,00, e ainda do dinheiro que sobrou, deu metade para sua irmã Bia.
Desta forma, com quanto Ana ainda ficou?
(100). Qual
o valor do logaritmo de 100 na base 10?
(2). 2
é a ordenada do ponto P(x,2) que dista
13 unidades do ponto Q(0,14). Qual o valor da abscissa x?
(5). De
quantos modos distintos é possível organizar 5 pessoas em fila indiana?
(120). 120
É o numero de pessoas existentes em uma festa. Sabe se que destas pessoas 72
são mulheres. Portanto, escolhendo se ao acaso uma das pessoas presentes na
festa, qual a probabilidade (em porcentagem) de que a escolhida seja um homem?
(40%) 40%
dos alunos de uma escola jogam vôlei. Sabe se também que 80% dos alunos desta
escola jogam futsal. Se todos os alunos
praticam pelo menos um dos esportes citados, qual o percentual dos alunos que
praticam os dois esportes.
(20%) 20%
do valor que tinha na carteira gastei para pagar um suco que custava R$ 3,00.
Qual o valor que ainda me resta na carteira?
(12). 12
é uma das raízes da equação X² - 10X – 24 = 0. Qual é a outra raiz desta
equação?
(-2). -2
é meu numero. Se multiplicarmos meu numero por 23 encontraremos qual resultado?
(-56). -56
é meu numero. Qual o valor absoluto de meu numero?(modulo de -56).
